Newton-Verfahren

Bild 5.4: Newton-Verfahren mit waagerechter Tangente for F(x)

Figure 5.4: Newton method with horizontal tangent for F (x)

(Zyklus beim Newton-Verfahren)

(Cycle when Newton's method)

Ausgehend von dem Startwert x0 = 1 liefert das Newton-Verfahren

Starting from the initial value x0 = 1 yields the Newton method

Das Newton-Verfahren stellt eine effiziente Methode bei nichtlinearen Nullstellenproblemen dar, leidet jedoch aufgrund der lokalen Konvergenzeigenschaft unter möglichen Verfahrensabbrüchen und Zyklen.

Newton's method is an efficient method for nonlinear zero problems, but suffers due to the local convergence property with potential method crashes and cycles.

Modifiziertes Newton-Verfahren

Modified Newton method

Nutzt man anstelle der im Newton-Verfahren verwendeten Tangente an F die Gerade durch den Punkt (xm, F(xm)) mit der Steigung F′(x0) 6= 0, so wird die Problematik eines Verfahrensabbruchs aufgrund einer Division durch Null bei geeigneter Wahl des Startwertes umgangen.

If one uses instead of the Newton method used tangent to F, the (xm, F (xm)) line through the point with slope F '(x0) 6 = 0, so the problem of a process termination due to a division by zero is given a suitable choice of the starting value bypassed.

Wir erhalten hierdurch das in Abbildung 5.6 dargestellte modifizierte Newton-Verfahren

We get a result, shown in Figure 5.6 modified Newton method

Der Nachteil dieses Ansatzes liegt in der üblicherweise geringeren Konvergenzgeschwindigkeit der Methode verglichen zum klassischen Newton-Verfahren.

The disadvantage of this approach lies in the typically lower rate of convergence of the method compared to the classical Newton's method.