derivative matrix

We will use the explicit third order Runge-Kutta method that we already presented in Sect. 4.1 to integrate the system (4.81) in time. Algorithm 50 (CollocationStepByRK3) presents a generic procedure that takes as input the approximate solution, Φn, at time tn, the derivative matrix D, which in this case is the second derivative matrix, and two procedures that compute the time derivatives at the interior and the boundaries. The time step routine returns the array of the approximate solution at time tn+1.

Wir werden die expliziten dritter Ordnung Runge-Kutta-Methode, die wir schon in Abschn. vorgestellt. 4.1 bis das System (4,81) in der Zeit zu integrieren. Algorithmus 50 (CollocationStepByRK3) einen generischen Prozedur, die als Eingabe die Näherungslösung, Φn, zum Zeitpunkt tn, wobei das Derivat Matrix D, die in diesem Fall ist die zweite Ableitung Matrix, und zwei Verfahren, die die zeitlichen Ableitungen berechnet im Inneren und nimmt die Grenzen. Der Zeitschritt Routine gibt das Array der Näherungslösung zum Zeitpunkt tn 1.

Our choice of the explicit Runge-Kutta method to integrate the system in time limits the size of the time step, which depends on the eigenvalues of the second derivative matrix, which are real and grow with N. We do not have analytical representations for the eigenvalues of the polynomial derivative matrices, however. In general, they must be computed, say by the DGEEV eigenvalue routine in LAPACK.

Unsere Wahl der expliziten Runge-Kutta-Methode, das System zu integrieren, in der Zeit begrenzt die Größe des Zeitschritts, die auf die Eigenwerte der Matrix der zweiten Ableitung, die real sind und wachsen mit N. Wir haben keine analytische Darstellungen für die abhängig Eigenwerte der Polynom-Derivat Matrizen jedoch. Im Allgemeinen sie berechnet werden müssen, sagen wir von der DGEEV Eigenwert Routine in LAPACK.